sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

      NÚMERO QUÂNTICO DO INFINITO-DIMENSIONAL  GRACELI.

ONDE TODA PARTE ÍNFIMA E INFINITÉSIMA DE ENERGIA POSSA SER REPRESNTADA DENTRO DE QUALQUER TIPO DE ÁTOMO, OU ESTRUTURA EM QUE SE ENCONTRE DENTRO DO SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL GRACELI.

OU SEJA, ONDE ENVOLVE TENSORES DE GRACELI, SDCTIE GRACELI, E O INFINITO-DIMENSIONAL .

sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

setembro 20, 2021

 sistema indeterminístico Graceli ;

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL = sdctie graceli, sistema de infinitas dimensões +

SISTEMA DE TENSOR G+ GRACELI , ESTADOS FÍSICOS -QUÍMICO-FENOMÊNICO DE GRACELI CATEGORIAS E Configuração eletrônica dos elementos químicos

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

 SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

COM  ELEMENTOS DO SISTEMA SDCTIE GRACELI, TENSOR G+ GRACELI CAMPOS E ENERGIA, E ENERGIA, E CONFIGURAÇÕES ELETRÔNICAS DOS ELEMENTOS QUÍMICO, E OUTRAS ESTRUTURAS.

ESTADO E NÚMERO QUÂNTICO, NÍVEIS DE ENERGIA DO ÁTOMO, FREQUÊNCIA. E OUTROS.

  TENSOR G+ GRACELI, SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA.

SISTEMA MULTIDIMENSIONAL  GRACELI

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI.

Configuração eletrônica dos elementos químicos. [parte do sistema Graceli infinito-dimensional].

DENTRO DE UMA CONCEPÇÃO QUE CADA ÁTOMO É FORMADO DE INFINITAs OUTRAS PARTÍCULAS, E COM INFINITAS OUTRAS ENERGIAS, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, E OUTROS FENÔMENOS, LOGO SE TEM EM CADA ÁTOMO E OU ELEMENTO QUÍMICO INFINITAS OUTRAS DIMENSÕES. COM INFINITAS VARIAÇÕES NAS CATEGORIAS DE GRACELI , QUE  SÃO: OS POTENCIAIS, TIPOS, NÍVEIS, E TEMPO DE AÇÃO ESPECÍFICO  DO FENÔMENO.

ONDE NOS SISTEMAS  DE GRACELI CATEGORIAS,  FENÔMENOS, ESTADOS, ENERGIAS, ESTRUTURAS, E OUTROS SÃO TIPOS E FORMAS DE DIMENSÕES..

FLUXOS ALEATÓRIOS DE ENERGIAS ELÉTRICA,  E FLUXOS DE SALTOS QUÂNTICOS INFINITESIMAIS E INDETERMINADOS.

SENDO QUE VARIAM CONFORME O SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL.

O SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL DE GRACELI, ASSIM, COMO O SISTEMA SDCTIE GRACELI [SISTEMA ENVOLVENDO DIMENSÕES DE GRACELI, E SUAS CATEGORIAS, ESTADOS FÍSICOS E ESTADOS FÍSICOS DE GRACELI, TRANSFORMAÇÕES E INTERAÇÕES], E OS TENSORES DE GRACELI TEM AÇÃO EM TODA A FÍSICA EM TODOS OS SEUS RAMOS E E DIVISÕES, ASSIM, COMO A QUÍMICA E A BIOLOGIA, QUE TODOS ESTES SE FUNDAMENTEM EM ENERGIAS, ONDAS, ESTRUTURAS, CATEGORIAS, ESTADOS, ESPECTROS, DIMENSÕES, E OUTROS.

OU SEJA, DENTRO DE UM SISTEMA GERAL DE GRACELI TODA FÍSICA DAS ESTRTURUAS, ENERGIAS, ONDAS, DIMENSÕES, ESTADOS, E CATEGORIAS. ESTÃO INSERIDOS NESTES SISTEMA DE GRACELI.

dentro de uma concepção que a matéria é infinitésima em termos de tipos e ínfimos diâmetro, logo esta diferenciação faz com que cada ínfima e infinitésima parte tenha ações, transformações, interaçõs, potenciaidades, e outros diferentes de uma das outras. logo se tem infinitas dimensões para cada ínfima e infinitésima parte e tipo.

VEJAMOS;

Em física, a série de Lyman é o conjunto de raios que resultam da emissão do átomo do hidrogênio quando um elétron transita de n ≥ 2 a n = 1 (onde n representa o número quântico principal referente ao nível de energia do elétron). As transições são denominadas sequencialmente por letras gregas: desde n = 2 a n = 1 é chamada Lyman-alfa, 3 a 1 é Lyman-beta, 4 a 1 é Lyman-gama, etc.

A primeira linha no espectro ultravioleta da série de Lyman foi descoberta em 1906 pelo físico da Universidade de Harvard Theodore Lyman, que estudava o espectro ultravioleta do hidrogênio gasoso eletricamente excitado. O resto das linhas do espectro foram descobertas por Lyman entre 1906 e 1914. O espectro da radiação emitido pelo hidrogênio não é contínuo. A seguinte ilustração apresenta a primeira série da linha de emissão do hidrogênio:

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Historicamente, explicar a natureza do espectro do hidrogênio era um problema considerável para a física. Nada pode predizer as longitudes de onda das linhas de hidrogênio até 1885, quando o desenvolvimento da fórmula de Balmer ofereceu uma possibilidade empírica para visibilizar o espetro de hidrogênio. Cinco anos depois Johannes Rydberg apareceu com outra fórmula empírica para resolver o problema, a qual foi apresentada pela primeira vez em 1888 e cuja forma final apareceu em 1890. Rydberg queria encontrar uma fórmula para ligar as já conhecidas linhas de emisão da série de Balmer, e para predizer aquelas ainda não descobertas. Diferentes versões da fórmula de Rydberg com diferentes números simples foram criadas para gerar diferentes séries de linhas.

Índice

• 1Obtenção da série de Lyman
• 2Explicação e derivação
• 3Ligações externas
• 4Ver também

Obtenção da série de Lyman

A versão da fórmula de Rydberg que gerou a série de Lyman era:

${\displaystyle {1 \over \lambda }=R\left({1 \over 1^{2}}-{1 \over n^{2}}\right)\qquad \left(R=1.0972\times 10^{7}{\mbox{m}}^{-1}\right)}$

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Onde n é um número natural maior ou igual a 2 (quer dizer n = 2,3,4,...).

Além disso, as linhas vistas na imagem são os comprimentos de onda correspondentes a n=2 na esquerda, a n=${\displaystyle \infty }$ na direita (pois existem infinitas linhas espectrais, mas estas juntam-se a medida que se aproxima a n=${\displaystyle \infty }$, pelo que só algumas das primeiras linhas e a última aparecem efetivamente)

Os comprimentos de onda (nm) na série de Lyman são todos ultravioletas:

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	${\displaystyle \infty }$
Comprimento de onda (nm)	121.6	102.5	97.2	94.9	93.7	93.0	92.6	92.3	92.1	91.9	91.15

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A fórmula de Rydberg (fórmula de Rydberg-Ritz) ou equação de Rydberg é utilizada em física atômica para determinar todo o espectro da luz emitida pelo hidrogênio, posteriormente estendida para uso com qualquer elemento pelo uso do princípio de combinação de Rydberg-Ritz.^[1][2]

O espectro é o conjunto de comprimentos de onda dos fótons emitidos quando o elétron pula entre níveis de energia discretos, "camadas" ao redor do átomo de um certo elemento químico. A descoberta posteriormente promoveu motivação para a criação da física quântica.^[3]

A fórmula foi inventada pelo físico sueco Johannes Rydberg e apresentada em 5 de Novembro de 1888.

• 5Bibliografia

Fórmula de Rydberg para o hidrogênio

Ver também: Espectro do átomo de hidrogênio

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}=R_{\mathrm {H} }\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)}$

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Onde

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {vac} }}$ é o comprimento de onda da luz emitida no vácuo,^[1]

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }}$ é a constante de Rydberg para o hidrogênio,^[4]

${\displaystyle n_{1}}$ and ${\displaystyle n_{2}}$ são inteiros tais que ${\displaystyle n_{1}<n_{2}}$.

Deixando ${\displaystyle n_{1}}$ igual a 1 e fazendo ${\displaystyle n_{2}}$ percorrer de 2 até o infinito, as linhas de espectro conhecidas como série de Lyman convergem em 91 nm. Da mesma maneira:

${\displaystyle n_{1}}$	${\displaystyle n_{2}}$	Nome	Converge para
1	${\displaystyle 2\rightarrow \infty }$	Série de Lyman	91 nm
2	${\displaystyle 3\rightarrow \infty }$	Série de Balmer	365 nm
3	${\displaystyle 4\rightarrow \infty }$	Série de Paschen	821 nm
4	${\displaystyle 5\rightarrow \infty }$	Série de Brackett	1459 nm
5	${\displaystyle 6\rightarrow \infty }$	Série de Pfund	2280 nm
6	${\displaystyle 7\rightarrow \infty }$	Série de Humphreys	3283 nm

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Apenas a série de Balmer está na faixa visível do espectro luminoso. A série de Lyman está na faixa ultravioleta, e as séries de Paschen, Brackett, Pfund, e Humphreys, na infravermelha.

Fórmula de Rydberg para qualquer elemento semelhante ao hidrogênio

A fórmula acima pode ser estendida para qualquer elemento químico semelhante ao hidrogênio.^[1][4]

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}=RZ^{2}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)}$

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onde

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {vac} }}$ é o comprimento de onda da luz emitida no vácuo;

${\displaystyle R}$ é a constante de Rydberg para esse elemento;

${\displaystyle Z}$ é o número atômico;

${\displaystyle n_{1}}$ e ${\displaystyle n_{2}}$ são inteiros tais que ${\displaystyle n_{1}<n_{2}}$.

É importante notar que esta fórmula pode ser aplicada apenas para elementos semelhantes ao hidrogênio, também chamados átomos hidrogênicos, isto é,.átomos com apenas um elétron na orbital mais externo. Exemplos destes incluem o ${\displaystyle He^{+},~Li^{2+},~Be^{3+}}$ etc.^[5]

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Em mecânica quântica, a solução da Equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio é o processo de resolução da equação diferencial parcial formulada por Erwin Schrödinger em 1925 para o caso particular de duas partículas de cargas elétricas de mesmo módulo e sinal oposto (um elétron e um próton), em que a função energia potencial a que o elétron, a menor das duas partículas, está sujeito é da forma:^[1][2]

${\displaystyle V(r)=-{\frac {ke^{2}}{r^{2}}}}$

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Em que ${\displaystyle r}$ é a distância entre as partículas. Isto é, corresponde à interação, provocada pela força elétrica, entre próton e elétron característica de um átomo de Hidrogênio. Devido às consequências dramáticas se comparadas ao resultado do modelo clássico para essa situação, tal resolução é de extrema importância para a teoria atômica e, portanto, para a química, já que introduz os conceitos de orbital e números quânticos, a serem generalizados para outros elementos químicos, para além do Hidrogênio.^[2]

Para resolvê-la, a equação de Schrödinger independente do tempo é escrita em coordenadas esféricas, de modo que a função de onda ${\displaystyle \psi }$ seja tal que ${\displaystyle \psi =\psi (r,\theta ,\phi )}$.^[2] Dessa forma a equação, genericamente escrita como

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}{{\nabla }^{2}}\psi +V\psi =E\psi }$

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será escrita da seguinte maneira:^[2]

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )+{1 \over r^{2}\operatorname {sen} \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\operatorname {sen} \theta {\partial \psi \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }{\partial ^{2}\psi \over \partial \phi ^{2}}\right)-{\frac {ke^{2}}{r^{2}}}\psi =E\psi }$

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Em que ${\displaystyle m_{e}}$ é a massa do elétron e ${\displaystyle E}$ é uma energia bem definida, isto é, representa os autovalores possíveis da energia, que, por sua vez, representam estados estacionários.

Esse problema é um caso particular do problema de força central em três dimensões espaciais em mecânica quântica, caracterizado por uma função energia potencial da forma ${\displaystyle V=V(r)}$, podendo este potencial ter outras formas que não somente proporcionais ao inverso do quadrado da distância.^[2]

• 3Referências

Solução por separação de variáveis

Ver artigo principal: Separação de variáveis

Primeiramente, torna-se prático isolar o operador laplaciano do lado esquerdo da equação e retornar a escrever a energia potencial ${\displaystyle -{\frac {ke^{2}}{r^{2}}}}$ como ${\displaystyle V(r)}$, por compacticidade. Logo, a equação fica:^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )+{1 \over r^{2}\operatorname {sen} \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\operatorname {sen} \theta {\partial \psi \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }{\partial ^{2}\psi \over \partial \phi ^{2}}={\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)\psi }$

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Para encontrar as funções ${\displaystyle \psi =\psi (r,\theta ,\phi )}$ que são soluções da equação, utiliza-se o método da separação de variáveis, baseando-se no teorema que afirma que toda solução de uma equação diferencial parcial linear pode ser escrita como uma combinação linear de um conjunto (talvez infinito) de soluções separáveis, isto é, que possuem a seguinte forma:^[2]

${\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )}$

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Substituindo na equação de Schrödinger, percebe-se que a derivação só afetará uma das funções que compõem ${\displaystyle \psi }$, ou seja, já que não há derivadas cruzadas, somente uma dentre as três funções ${\displaystyle R(r)}$, ${\displaystyle \Theta (\theta )}$ e ${\displaystyle \Phi (\phi )}$ serão afetadas para cada termo. Além disso, as derivadas parciais tornar-se-ão derivadas ordinárias, já que cada uma dessas funções depende somente da variável em relação a qual a função está sendo derivada, resultando em:^[2]

${\displaystyle {\frac {\Theta \Phi }{r}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)+{R\Phi \over r^{2}\operatorname {sen} \theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)+{R\Theta \over r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }{d^{2}\Phi \over d\phi ^{2}}={\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)R\Theta \Phi }$

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Multiplicando ambos os lados da equação por ${\displaystyle {\frac {r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }{R\Theta \Phi }}}$, obtém-se:^[2]

${\displaystyle {\frac {r\operatorname {sen} ^{2}\theta }{R}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)+{\operatorname {sen} \theta \over \Theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)+{1 \over \Phi }{d^{2}\Phi \over d\phi ^{2}}={\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }$

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Ao atentar-se, percebe-se que o termo que envolve o terceiro termo aditivo do lado esquerdo da equação é a única dependência em ${\displaystyle \phi }$ da equação inteira. Isolando-o, obtém-se:^[2]

${\displaystyle {1 \over \Phi }{d^{2}\Phi \over d\phi ^{2}}={\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta -{\frac {r\operatorname {sen} ^{2}\theta }{R}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)-{\operatorname {sen} \theta \over \Theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)}$

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Como o lado esquerdo, depende somente de ${\displaystyle \phi }$ e como o lado direito depende somente de ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle \theta }$, podemos escrever que o lado esquerdo é uma função ${\displaystyle f=f(\phi )}$ e o direito uma função ${\displaystyle g=g(r,\theta )}$. Logo, vale a seguinte igualdade:^[2]

${\displaystyle f(\phi )=g(r,\theta )}$

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Contudo, como as três coordenadas esféricas são variáveis independentes, a única maneira da igualdade entre as funções ser verdadeira é se ambas forem iguais a uma constante. Tal constante é tradicionalmente escrita como sendo ${\displaystyle -m^{2}}$, em que ${\displaystyle m}$ seja, a princípio, um número qualquer. Assim, as equações foram separadas, tornando-se duas equações diferenciais ordinárias distintas: uma dependente da variável ${\displaystyle \phi }$ e outra dependente das variáveis ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle \theta }$ . Elas encontram-se abaixo:^[2]

Equação diferencial ordinária em ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {1 \over \Phi }{d^{2}\Phi \over d\phi ^{2}}=-m^{2}}$

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Equação diferencial ordinária em ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle -{\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta +{\frac {r\operatorname {sen} ^{2}\theta }{R}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)+{\operatorname {sen} \theta \over \Theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)=m^{2}}$

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Nota-se que a segunda equação ainda possui variáveis acopladas e, portanto, deve-se separá-las de maneira similar à anterior. Para isso, divide-se a segunda equação por ${\displaystyle sen^{2}\theta }$ e se coloca o terceiro termo do lado esquerdo para o lado direito da equação, obtendo a seguinte expressão:^[2]

${\displaystyle -{\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r^{2}+{\frac {r}{R}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)+{1 \over \Theta sen\theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)={\frac {m^{2}}{sen^{2}\theta }}\implies -{\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r^{2}+{\frac {r}{R}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)={\frac {m^{2}}{sen^{2}\theta }}-{1 \over \Theta sen\theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)}$

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Novamente, temos o lado esquerdo da equação dependente somente de ${\displaystyle r}$ e o lado direito dependente somente de ${\displaystyle \theta }$, podendo escrever que o lado esquerdo é uma função ${\displaystyle F=F(r)}$ e o direito uma função ${\displaystyle G=G(\theta )}$. Logo,é válida a seguinte igualdade:^[2]

${\displaystyle F(r)=G(\theta )}$

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E, mais uma vez, a única maneira de isso se verificar é se ambas forem iguais a uma constante. Essa constante, por motivos que ficarão claros mais adiante na resolução, é convenientemente escrita como ${\displaystyle l(l+1)}$, em que ${\displaystyle l}$ é um número qualquer, a princípio. Assim, obtemos duas novas equações:

${\displaystyle {\frac {m^{2}}{sen^{2}\theta }}-{1 \over \Theta sen\theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)=l(l+1)}$

${\displaystyle -{\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r^{2}+{\frac {r}{R}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)=l(l+1)}$

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Na primeira equação, passando os termos da esquerda para a direita e multiplicando-a pela função incógnita ${\displaystyle \Theta }$, obtemos:

Equação diferencial ordinária em ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {1 \over sen\theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)+\left(l(l+1)-{\frac {m^{2}}{sen^{2}\theta }}\right)\Theta =0}$

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Na segunda equação, denominada equação radial, primeiramente se isola o segundo termo do lado esquerdo e depois se multiplica a equação por ${\displaystyle {\frac {R}{r}}}$, obtendo:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)=\left[{\frac {l(l+1)}{r}}+{\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r\right]R}$

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Por fim, fatorando o termo ${\displaystyle {\frac {2m_{e}r}{\hbar ^{2}}}}$ do lado direito, conclui-se com a seguinte equação:

Equação diferencial ordinária em ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)={\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left[{\frac {l(l+1)\hbar ^{2}}{2m_{e}r^{2}}}+V(r)-E\right](rR)}$

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Solução da equação em ${\displaystyle \phi }$

A equação mais simples e a primeira a ser obtida é a equação da coordenada angular ${\displaystyle \phi }$ que, de fato, é idêntica à equação do oscilador harmônico simples.

Equação diferencial em ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {1 \over \Phi }{d^{2}\Phi \over d\phi ^{2}}=-m^{2}}$

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É também possível escrevê-la, usando a notação ${\displaystyle \Phi ''={\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}}}$, como:

${\displaystyle \Phi ''+m^{2}\Phi =0}$

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Há duas maneiras principais de como escrever a solução geral dessa equação: como combinação linear de senos e cossenos ou como combinação linear de exponenciais imaginárias. Isto é:

${\displaystyle \Phi (\phi )=A\operatorname {sen}(m\phi )+B\cos(m\phi )}$

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${\displaystyle \Phi (\phi )=Ae^{im\phi }+Be^{-im\phi }}$

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É conveniente escolher a segunda forma, admitindo a possibilidade que ${\displaystyle m}$ possa ser tanto positivo quanto negativo, e omitindo a constante ${\displaystyle A}$, devido à propriedade de normalização da função de onda. Assim, a solução fica:

${\displaystyle \Phi (\phi )=e^{im\phi }}$, ${\displaystyle m\geq 0}$ ou ${\displaystyle m<0}$.

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Quantização de ${\displaystyle m}$

Usando a propriedade cíclica da função ${\displaystyle \Phi }$, isto é, que ${\displaystyle \Phi (\phi +2\pi )=\Phi (\phi )}$, obtemos o seguinte:

${\displaystyle \Phi (\phi +2\pi )=\Phi (\phi )\implies e^{im(\phi +2\pi )}=e^{im\phi }\implies e^{im\phi }.e^{im(2\pi )}=e^{im\phi }\implies e^{im(2\pi )}=1}$

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Para que essa última exponencial imaginária seja igual a 1, ${\displaystyle m}$ tem de ser um número inteiro. Esse número é denominado o número quântico magnético.

${\displaystyle m=0,1,-1,2,-2,...}$

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Na mecânica quântica o termo spin (em inglês "giro") associa-se, sem rigor, às possíveis orientações que partículas subatômicas carregadas, como o próton e o elétron, e alguns núcleos atômicos podem apresentar quando imersas em um campo magnético.

Embora o termo tenha surgido da ideia de que os elétrons "giravam" em torno de si mesmos, e embora geralmente associado à ideia de momento magnético das partículas uma vez que partículas carregadas, quando em movimento de rotação, da mesma forma que uma volta de fio percorrido por uma corrente elétrica, produzem campos magnéticos, esta descrição não é adequada para os nêutrons, que não possuem carga elétrica; também não é capaz de explicar valores de spin observados em certos núcleos atômicos, a exemplo ${\textstyle {\frac {7}{2}}}$ para o U²³⁵. Nestes casos, o termo spin é encarado simplesmente como um quarto número quântico, necessário à definição dos estados quânticos destas partículas quando em estados discretos de energia em sistemas confinados, a exemplo nos orbitais em um átomo ou nos estados de energia em um gás de férmions.

O termo spin em mecânica quântica liga-se ao vetor momento angular intrínseco de uma partícula e às diferentes orientações (quânticas) deste no espaço, embora o termo seja muitas vezes incorretamente atrelado não ao momento angular intrínseco mas ao momento magnético intrínseco das partículas, por razões experimentais. Os vetores momentos angular e momento magnético intrínsecos de uma partícula são acoplados através de um fator giromagnético que depende da carga e da espécie de partícula, e uma partícula que tenha carga e spin (angular) não nulos terá um momento magnético não nulo. Experimentalmente o momento magnético é muito mais acessível do que o momento angular em si em virtude da interação deste com corpos magnéticos e eletromagnéticos, e o momento angular intrínseco (spin) de partículas carregadas, acaba sendo inferido a partir de seu momento magnético intrínseco.

O spin é considerado hoje uma entidade matemática que estabelece qual dentre as estatísticas disponíveis, a citar: a estatística de Fermi-Dirac para férmions (partículas com spin semi-inteiro), a estatística de Maxwell–Boltzmann (para partículas clássicas não interagentes) e a estatística de Bose-Einstein para bósons (partículas com spin inteiro) deve ser utilizada para a correta descrição termodinâmica dos entes físicos em questão quando no âmbito da mecânica quântica. Estabelece também os detalhes da aplicação da estatística correta por definir o número máximo de partículas em cada estado energético disponível: para férmions, 2 partículas no caso de spin ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ (elétrons na eletrosfera, nos orbitais de um átomo, a exemplo), 4 para spin ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$, 6 para spin ${\textstyle {\frac {5}{2}}}$ ... , para bósons com spin inteiros e infinitas partículas por estado disponível. Associa-se diretamente ao momento angular intrínseco das partículas, sendo necessário à descrição desta grandeza e portanto caracteriza-se não só como uma entidade matemática, mas também como uma entidade física indispensável à descrição dos Sistemas Quânticos.

O Spin não possui uma interpretação clássica, ou seja, é um fenômeno estritamente quântico, e sua associação com o movimento de rotação das partículas sobre seu eixo - uma visão clássica - deixa muito a desejar.

• 8Referências

Spin eletrônico

Evidências de que os elétrons podem apresentar movimento de rotação em dois sentidos diferentes foram obtidas em 1921 pelos físicos alemães Otto Stern e Walther Gerlach. Eles empregaram uma séries de experiências, com a finalidade de comprovar as suas evidências.

As experiências consistiram na passagem de um feixe de átomos metálicos, vaporizados, por um campo magnético não-homogêneo. Com alguns metais não houve desvio do feixe, enquanto outros, como o sódio, sofreram desvio. Era sabido que um feixe de partículas como elétrons ou íons, sofre desvio ao passar por um campo magnético. Contudo, átomos não têm carga elétrica. Para explicar esse fenômeno, foram atribuídos aos eléctrons dois possíveis sentidos de rotação, chamados spins.

Um átomo de sódio possui 11 elétrons dos quais 10 estão emparelhados em cinco orbitais. Quando dois elétrons estão emparelhados num orbital, seus spins estão em direções opostas, havendo assim uma compensação de forças magnéticas. Entretanto, o último elétron do sódio está desemparelhado, e a força no átomo devido à presença deste único elétron desemparelhado produz o desvio do feixe. O fato de que o feixe de átomos é dividido em dois componentes, mostra que numa metade dos átomos os spins, inclusive do elétron desemparelhado, estão em uma direção, e na outra metade os spins estão na direção oposta. Os átomos com todos os elétrons emparelhados não sofrem desvio.

Em uma terminologia química, dois elétrons com spins em sentidos opostos são ditos spins antiparalelos. As substâncias que possuem um ou mais elétrons desemparelhados são atraídas — porém, fracamente — em um campo magnético. Estas substâncias são chamadas paramagnéticas. Aquelas que não possuem elétrons desemparelhados — não sendo, portanto — atraídas em campo magnético, são chamadas diamagnéticas. A intensidade da atração depende, logicamente, do número de elétrons desemparelhados na substância.

O termo "rotação" não é o mais apropriado, pois leva à ideia do elétron como partícula apenas, contradizendo seu comportamento dual como partícula-onda. Todavia, por falta de um termo mais apropriado para elucidar a ideia do spin, este continua sendo considerado como rotação.

Spin de partículas elementares

Partículas elementares, tais como os fótons, elétrons e os quarks, são partículas que não podem ser divididas em partes menores. Teorias e estudos experimentais têm mostrado que o spin, presente nessas partículas, não pode ser explicado por postulações clássicas, onde partículas menores tendem a orbitar em volta de um centro de massa. O spin que essas partículas apresentam é uma propriedade física intrínseca, como a propriedade de carga elétrica e massa. Na mecânica quântica, o momento angular de qualquer sistema é expresso pela equação abaixo:

${\displaystyle S=\hbar {\sqrt {s(s+1)}}}$/////////

sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

Onde ${\displaystyle \hbar }$ é a constante de Planck reduzida ${\displaystyle {\frac {h}{2\pi }}}$, e o número quântico do spin s é uma fração na forma ${\displaystyle s={\frac {n}{2}}}$ , onde n pode ser qualquer número inteiro não-negativo. Assim, s pode assumir os valores 0, ${\textstyle {\ce {{\frac {1}{2}}}}}$, 1, ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$, 2, /////////

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Spin de partículas compostas

O spin de partículas compostas, tais como próton, constituído pela soma dos spins das partículas em órbita em determinado momento angular. O spin de partículas compostas está sujeita às mesmas leis que regem o spin de partículas elementares. Partículas compostas sofrem spin sob circunstâncias matemáticas determinadas, tais como as partículas elementares; por exemplo, o spin de um próton é igual a ${\textstyle {\ce {-{\frac {1}{2}}}}}$, da mesma forma que um pósitron.

Spin de átomos e moléculas

O spin de átomos e moléculas é igual a soma dos spins dos elétrons constituintes de cada um. Mais sobre o assunto, consulte paramagnetismo.

Formulação Matemática

Todas as partículas elementares, tais como: prótons, nêutrons, elétrons, etc. possuem um momento angular intrínseco chamado SPIN, símbolo S. Não existe análogo clássico que poderia permitir a definição de spin, tal como

${\displaystyle {\vec {S}}={\vec {r}}\wedge {\vec {p}}_{s}={\vec {r}}\times {\vec {p}}_{s}}$/////////

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duma maneira similar à definição do momento angular orbita

${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\wedge {\vec {p}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}}$/////////

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O módulo de S é ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\hbar }$./////////

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Spin é uma propriedade interna da partícula, como a massa ou a carga .

Constitui uma coordenada ou grau de liberdade adicional na formulação da mecânica quântica.

Regras de Comutação

Estas são exatamente as mesmas que as do momento angular orbital, isto é:

${\displaystyle \lfloor {{\check {S}}_{x},{\check {S}}_{y}}\rfloor =i\hbar {\check {S}}_{z}}$, etc/////////

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${\displaystyle \lfloor {{\check {S}}^{2},{\check {S}}_{z}}\rfloor =0}$, etc/////////

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${\displaystyle \lfloor {{\check {S}}_{z},{\check {S}}_{+}}\rfloor =\hbar {\check {S}}_{+}}$, etc/////////

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Funções de onda ou Spinores

Estas são denotadas por ${\displaystyle |s\mu \rangle }$ onde ${\textstyle s={\frac {1}{2}}}$ e ${\textstyle \mu =\pm {\frac {1}{2}}}$.^[1]

De modo que o estado de spin para cima será denotado por:

${\displaystyle \chi _{\text{up}}={\Bigg (}{\frac {1}{0}}{\Bigg )}={\Bigg |}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}{\Bigg \rangle }}$

e o estado de a spin para baixo por

${\displaystyle \chi _{\text{down}}={\Bigg (}{\frac {0}{1}}{\Bigg )}={\Bigg |}{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}{\Bigg \rangle }}$

Os spinores são, simultaneamente, auto-funções dos operadores de spin ${\displaystyle {\check {S}}^{2}}$ e ${\displaystyle {\check {S}}^{z}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&S^{2}{\Bigg |}{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}{\Bigg \rangle }={\frac {1}{2}}{\Bigg (}{\frac {1}{2}}+1{\Bigg )}\hbar ^{2}{\Bigg |}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}{\Bigg \rangle }={\frac {3}{4}}\hbar ^{2}{\Bigg |}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}{\Bigg \rangle }\\&S_{z}{\Bigg |}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}{\Bigg \rangle }={\frac {1}{2}}\hbar {\Bigg |}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}{\Bigg \rangle }\;e\;S_{z}{\Bigg |}{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}{\Bigg \rangle }=-{\frac {1}{2}}\hbar {\Bigg |}{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}{\Bigg \rangle }\end{aligned}}}$/////////

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Assim, a álgebra dos operadores de momento angular orbital pode ser aplicada diretamente para os operadores de spin.^[1]/////////

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etc. A fração do número quântico é a maior diferença entre o momento angular orbital do spin. O valor de s depende unicamente do tipo de partícula, não podendo ser alterada de forma alguma, ao contrário da direção do spin.

Na física quântica, a interação spin-órbita (também chamado efeito spin-órbita ou acoplamento spin-órbita) é qualquer interação de partículas de spin com seu movimento. O primeiro e mais conhecido exemplo disto é que a interação spin-órbita provoca mudanças nos níveis de energia atômica de elétrons devido a uma interação entre o momento de dipolo magnético do spin e o campo magnético interno do átomo gerado pela órbita do elétron em torno do núcleo. Isto é detectável como uma divisão de linhas espectrais. Um efeito similar, devido à relação entre o momento angular e da força nuclear forte, ocorre por prótons e nêutrons em movimento dentro do núcleo, levando a uma mudança nos seus níveis de energia no modelo de concha do núcleo. No campo da spintrônica, os efeitos spin-órbita de elétrons em semicondutores e outros materiais são explorados para aplicações tecnológicas.^[1] A interação spin-órbita é uma das causas da anisotropia magnetocristalina.

Í

• 4Referências

Momentos angulares e momentos magnéticos (imagem semi-clássica)

Uma corrente numa espira tem associado a ela um momento magnético dado por:

${\displaystyle {\vec {\mu }}=I.{\vec {A}}}$ ./////////

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Nessa expressão ${\displaystyle \scriptstyle I}$ é a intensidade da corrente e ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {A}}}$ é o vetor área cuja direção é perpendicular ao plano da espira e o sentido é consistente com a regra do parafuso de rosca direita:

${\displaystyle A=\pi .r^{2}}$/////////

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e i = carga do electrão X número de vezes por segundo que o electrão passa num dado ponto = e.f onde f é a frequência de rotação do electrão.

Módulo do momento de dípolo magnético

${\displaystyle |{\vec {\mu }}|=I.A=(e.f).(\pi .r^{2})}$/////////

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Cuja direção é oposta a do momento angular orbital ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}}$ porque o electrão possui carga negativa.

Agora

${\displaystyle |{\vec {L}}|=m.v.r=.(2\pi .f.r)r=2mf\pi .r^{2}={\frac {2m}{e}}.|{\vec {\mu }}|}$/////////

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Portanto

${\displaystyle {\vec {\mu }}={\frac {e}{2m}}.{\vec {L}}}$ (Z)/////////

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Dado que o momento angular é quantizado, temos:

${\displaystyle {\vec {I}}=m\hbar {\hat {I}}}$/////////

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Na primeira órbita de Bohr, m = 1 e a equação (Z) torna-se

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{i}={\frac {-e\hbar {\hat {I}}}{2m}}=-{\vec {\mu }}_{B}{\hat {I}}}$ (Y)/////////

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onde ${\displaystyle \mu _{B}}$ é chamado magnetão de Bohr e o seu valor é dado por

${\displaystyle \mu _{B}={\frac {e\hbar }{2m}}}$/////////

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Pode-se ver da Equação (Y) que ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {\mu }}_{i}}$ é anti-paralelo ao momento angular orbital.

O rácio entre o momento magnético e o momento angular orbital é chamado o rácio giromagnético clássico,

${\displaystyle \gamma _{i}={\Bigg |}{\frac {{\vec {\mu }}_{i}}{\vec {I}}}{\Bigg |}={\frac {e}{2m}}={\frac {\mu _{B}}{\hbar }}}$ (X)/////////

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O momento angular de spin também possui um momento magnético a ele associado.

O seu rácio giromagnético é aproximadamente duas vezes o valor clássico para o momento orbital, isto é,

${\displaystyle \gamma _{s}={\Bigg |}{\frac {{\vec {\mu }}_{s}}{\vec {S}}}{\Bigg |}={\frac {e}{m}}}$ (K)/////////

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Isso significa que o spin é duas vezes mais eficaz em produzir um momento magnético do que o momento angular.

Equações (X) e (K) são muitas vezes combinados, escrevendo

${\displaystyle \gamma ={\frac {ge}{2m}}}$v/////////

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onde a grandeza g é chamada o fator de divisão espectroscópico. Para momentos angulares orbitais g = 1, para spin apenas g ≈ 2 (embora experimentalmente g = 2 004).

Para os Estados que são misturas de momento angular orbital e momento angular de spin, g não é inteiro .

Dado que

${\displaystyle s={\frac {1}{2}}\hbar }$/////////

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O momento magnético devido ao spin do electrão é:

${\displaystyle \mu _{s}=\gamma _{s}|{\vec {s}}|={\frac {e}{m}}.{\frac {\hbar }{2}}=\mu _{B}}$/////////

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Assim, a menor unidade de momento magnético para o electrão é o magnetão de Bohr, quer se combine momento angular orbital ou spin.

A interação spin-órbita (mecânica quântica)

Na inclusão introdutória do spin na função de onda de Schrodinger, supõe-se que as coordenadas do spin são independentes das coordenadas do espaço de configuração.^[2]

Assim, a função de onda total é escrita como uma função de produto.

${\displaystyle \Psi _{\text{total}}=\psi _{nlm}(r,\theta ,\phi ).\chi (spin).e^{-iE_{n}t/\hbar }}$/////////

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${\displaystyle \Psi _{\text{total}}={\Bigg |}R_{nl}.e^{-i.E_{n}{\frac {t}{\hbar }}}{\Bigg \rangle }.|l,m\rangle .|s,m_{s}\rangle }$ (P)/////////

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A suposição feita acima implica que não existe interação entre L e S, i.e

${\displaystyle \lfloor {\hat {L}},{\hat {S}}\rfloor =0}$/////////

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Neste caso, ${\displaystyle \scriptstyle \Psi _{\text{total}}}$ é uma auto-função de ambos ${\displaystyle \scriptstyle L_{z}}$ e ${\displaystyle \scriptstyle S_{z}}$ e portanto ${\displaystyle \scriptstyle m_{l}}$ e ${\displaystyle \scriptstyle m_{s}}$ são bons números quânticos; em outras palavras, as projeções de ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}}$ e ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {S}}}$ são constantes do movimento.

Mas na verdade existe uma interação entre ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}}$ e ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {S}}}$ chamada interação Spin-Órbita expressa em termos da grandeza ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}.{\vec {S}}}$.

Dado que ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}.{\vec {S}}}$ não comuta quer com ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}}$ ou com ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {S}}}$, a equação (P) torna-se incorreta e ${\displaystyle \scriptstyle m_{l}}$ e ${\displaystyle \scriptstyle m_{s}}$ deixam de ser bons números quânticos. 

Nós imaginamos a interação spin-órbita como o momento magnético spin estacionária interagindo com o campo magnético produzido pelo núcleo orbitante.

No sistema de referência de repouso do electrão, há um campo eléctrico

${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}={\frac {Ze}{r^{2}}}{\hat {r}}}$/////////

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Onde ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {r}}}$ dirige‐se do núcleo em direção ao electrão. 

Assumindo que ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {v}}}$ é a velocidade do electrão no sistema de referência de repouso do núcleo, a corrente produzida pelo movimento nuclear é: 

${\displaystyle {\vec {j}}=-{\frac {Ze}{c}}{\vec {v}}}$/////////

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No sistema de referência de repouso do electrão.

Portanto

${\displaystyle {\vec {H}}_{e}=-{\frac {Ze}{c}}{\frac {{\vec {v}}\wedge {\hat {r}}}{r^{2}}}=-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}}$/////////

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O momento de spin do electrão realiza um movimento precessional neste campo com frequência de Larmor:

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{e}=\gamma {\vec {H}}_{e}=-{\frac {e}{m_{0}c^{2}}}{\vec {v}}\wedge \varepsilon }$/////////

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Com energia potencial

${\displaystyle E_{e}=-{\vec {\mu }}_{s}.{\vec {H}}_{e}=-{\vec {\omega }}_{e}.{\vec {S}}}$/////////

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As equações acima são válidas no quadro de referência de repouso electrão.

A Transformação para o sistema de referência de repouso do núcleo introduz um fator de ½ - chamado o fator de Thomas. [Isto pode ser mostrado, calculando o tempo dilatado entre os dois sistemas de referência em repouso].^[2]

Portanto, um observador no sistema de referência de repouso do núcleo poderia observar o electrão a realizar um movimento de precessão com uma velocidade angular de

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{L}=-{\frac {e}{2m_{0}c^{2}}}{\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}}$ (T)/////////

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e por uma energia adicional dada por

${\displaystyle \Delta E=-{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{e}.{\vec {S}}}$/////////

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As duas Eqs acima podem ser colocadas em uma forma mais geral, restringindo o V ser qualquer potencial central com simetria esférica.

De forma que

${\displaystyle {\vec {F}}=-{\hat {r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}=e{\vec {\varepsilon }}}$/////////

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e então

${\displaystyle {\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}={\frac {1}{e}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {v}}\wedge {\vec {r}}={\frac {1}{em_{0}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}}$/////////

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A equação (T) torna-se então

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{L}=+{\frac {1}{2m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}}$/////////

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E a energia adicional

${\displaystyle \Delta E=+{\frac {1}{2m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}.{\vec {S}}}$/////////

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O produto escalar

${\displaystyle {\vec {L}}.{\vec {S}}=m\hbar s}$/////////

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Para spin = ½

${\displaystyle {\vec {L}}.{\vec {S}}=m\hbar .{\frac {1}{2}}\hbar ={\frac {1}{2}}m\hbar ^{2}}$/////////

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A separação energética se torna então

${\displaystyle |\Delta E|={\frac {\hbar ^{2}m}{4m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}$/////////

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Para o potencial de Coulomb a separação energética pode ser aproximada por:

${\displaystyle \Delta E={\frac {\lambda _{c}^{2}mZe^{2}}{r^{3}}}}$/////////

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Onde

${\displaystyle \lambda _{c}={\frac {h}{m_{o}c}}}$/////////

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é o comprimento de onda de Compton

${\displaystyle \lambda _{c}={\frac {h}{m_{o}c}}}$ ou ${\displaystyle {\frac {\lambda _{c}}{2\pi }}}$/////////

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Um resultado útil no cálculo é citado sem prova. O valor médio de ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{r^{3}}}}$ i.e.

${\displaystyle {\Bigg \langle }{\frac {1}{r^{3}}}{\Bigg \rangle }={\frac {Z^{2}}{a_{o^{2}}n^{2}l{\Bigg (}l+{\frac {1}{2}}{\Bigg )}(l+1)}}}$/////////

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para ${\displaystyle \scriptstyle l\neq 0}$

De modo que a separação energética se torna

${\displaystyle \Delta E={\frac {{\bar {\lambda }}_{c}^{2}m_{i}Z^{3}e}{a_{0}^{2}n^{2}l(l+1/2)(l+1)}}}$/////////

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para ${\displaystyle \scriptstyle l\neq 0}$

Esquemas de acoplamento do momento angular

Consideramos até agora somente o acoplamento do spin e momento orbital de um único electrão por meio da interação spin-órbita. Nós agora vamos considerar o caso de dois electrões nos quais há quatro momentos constituintes.

O modelo de acoplamento j - j

Este modelo assume que a interação de spin-órbita domina as interações electrostáticas entre as partículas.

Assim, nós escrevemos para cada partícula

${\displaystyle {\vec {J}}_{1}={\vec {L}}_{1}+{\vec {S}}_{1}\;e\;{\vec {J}}_{2}={\vec {L}}_{2}+{\vec {S}}_{2}}$/////////

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O momento angular total é obtido combinando ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {J}}_{1}}$ e ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {J}}_{2}}$ :

${\displaystyle {\vec {J}}={\vec {J}}_{1}+{\vec {J}}_{2}}$./////////

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sendo assim temos

${\displaystyle j=|j_{1}+j_{2}|,|j_{1}+j_{2}-1|,.....,|j_{1}-j_{2}|}$/////////

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Ilustramos o acoplamento j-j aplicando-o a dois electrões p não equivalentes.

Para cada electrão

${\displaystyle j_{1}=j_{2}={\frac {1}{2}}}$ ou ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$/////////

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Em um campo magnético fraco, cada Estado de um determinado j irá desdobrar-se em (2j+1) estados, correspondendo aos valores permitidos de mj.

Embora o acoplamento j-j seja amplamente utilizado para a descrição dos estados nucleares observados em espectroscopia nuclear, não é adequado para muitos sistemas atómicos por causa das interações electrostáticas e outras interações entre os dois electrões.

O esquema de acoplamento de Russell-Saunders

O modelo de acoplamento de Russell-Saunders tem sido mais bem sucedido no enquadramento dos espectros atómicos de todos, excepto dos átomos mais pesados. O modelo pressupõe que a interação electrostática, incluindo forças de intercâmbio,

entre dois electrões domina a interação de spin-órbita. Neste caso, os momentos orbitais e os spins dos dois electrões combinam separadamente para formar

${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {L}}_{1}+{\vec {L}}_{2}\;e\;{\vec {S}}={\vec {S}}_{1}+{\vec {S}}_{2}}$/////////

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O momento angular total é dado, por

${\displaystyle {\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}}$/////////

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O valor absoluto de ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}}$ , corresponde a:

${\displaystyle |{\vec {L}}|={\sqrt {l(l+1)}}\hbar }$/////////

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onde os valores possíveis de L são:

${\displaystyle l=l_{1}+l_{2},l_{1}+l_{2}-1...l_{1}-l_{2}}$ para ${\displaystyle l_{1}\geq l_{2}}$/////////

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O número quântico l determina as características do nível:

${\displaystyle l=0,1,2...{\text{indicam os níveis}}\;S,P,D...}$

l=1, corresponde ao nível P, mas não significa necessariamente que a configuração de um dos electrões esteja individualmente num estado p.

As transições ópticas seguem as seguintes regras de seleção:

${\displaystyle \Delta l=\pm 1}$ para um só electrão

${\displaystyle \Delta l=0,\pm 1}$ para o sistema total.

significa que os estados quânticos dos dois electrões variam simultaneamente, e em direções opostas, o que só é possível quando o acoplamento é forte, como é o caso dos átomos pesados.

Para dois electrões-p não equivalente temos:

${\displaystyle {\textbf {l}}=2,1,\;ou\;0\;e\;s=1\;ou\;0}$/////////

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Para cada l e s, os valores de j são ${\displaystyle |l+s|,|l+s-1|,....,|l-s|}$

para cada valor de j existem (2j+1) valores de ${\displaystyle \scriptstyle m_{j}}$. As combinações são dadas na tabela.

Observar-se-á que, apesar do número de Estados é uma vez mais 36 em um campo magnético fraco, as suas energias não são as mesmas que aquelas no esquema de acoplamento j-j