sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

     NÚMERO QUÂNTICO DO INFINITO-DIMENSIONAL  GRACELI.

ONDE TODA PARTE ÍNFIMA E INFINITÉSIMA DE ENERGIA POSSA SER REPRESNTADA DENTRO DE QUALQUER TIPO DE ÁTOMO, OU ESTRUTURA EM QUE SE ENCONTRE DENTRO DO SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL GRACELI.

OU SEJA, ONDE ENVOLVE TENSORES DE GRACELI, SDCTIE GRACELI, E O INFINITO-DIMENSIONAL .

sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

setembro 20, 2021

 sistema indeterminístico Graceli ;

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL = sdctie graceli, sistema de infinitas dimensões +

SISTEMA DE TENSOR G+ GRACELI , ESTADOS FÍSICOS -QUÍMICO-FENOMÊNICO DE GRACELI CATEGORIAS E Configuração eletrônica dos elementos químicos

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

 SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

COM  ELEMENTOS DO SISTEMA SDCTIE GRACELI, TENSOR G+ GRACELI CAMPOS E ENERGIA, E ENERGIA, E CONFIGURAÇÕES ELETRÔNICAS DOS ELEMENTOS QUÍMICO, E OUTRAS ESTRUTURAS.

ESTADO E NÚMERO QUÂNTICO, NÍVEIS DE ENERGIA DO ÁTOMO, FREQUÊNCIA. E OUTROS.

  TENSOR G+ GRACELI, SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA.

SISTEMA MULTIDIMENSIONAL  GRACELI

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI.

Configuração eletrônica dos elementos químicos. [parte do sistema Graceli infinito-dimensional].

DENTRO DE UMA CONCEPÇÃO QUE CADA ÁTOMO É FORMADO DE INFINITAs OUTRAS PARTÍCULAS, E COM INFINITAS OUTRAS ENERGIAS, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, E OUTROS FENÔMENOS, LOGO SE TEM EM CADA ÁTOMO E OU ELEMENTO QUÍMICO INFINITAS OUTRAS DIMENSÕES. COM INFINITAS VARIAÇÕES NAS CATEGORIAS DE GRACELI , QUE  SÃO: OS POTENCIAIS, TIPOS, NÍVEIS, E TEMPO DE AÇÃO ESPECÍFICO  DO FENÔMENO.

ONDE NOS SISTEMAS  DE GRACELI CATEGORIAS,  FENÔMENOS, ESTADOS, ENERGIAS, ESTRUTURAS, E OUTROS SÃO TIPOS E FORMAS DE DIMENSÕES..

FLUXOS ALEATÓRIOS DE ENERGIAS ELÉTRICA,  E FLUXOS DE SALTOS QUÂNTICOS INFINITESIMAIS E INDETERMINADOS.

SENDO QUE VARIAM CONFORME O SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL.

O SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL DE GRACELI, ASSIM, COMO O SISTEMA SDCTIE GRACELI [SISTEMA ENVOLVENDO DIMENSÕES DE GRACELI, E SUAS CATEGORIAS, ESTADOS FÍSICOS E ESTADOS FÍSICOS DE GRACELI, TRANSFORMAÇÕES E INTERAÇÕES], E OS TENSORES DE GRACELI TEM AÇÃO EM TODA A FÍSICA EM TODOS OS SEUS RAMOS E E DIVISÕES, ASSIM, COMO A QUÍMICA E A BIOLOGIA, QUE TODOS ESTES SE FUNDAMENTEM EM ENERGIAS, ONDAS, ESTRUTURAS, CATEGORIAS, ESTADOS, ESPECTROS, DIMENSÕES, E OUTROS.

OU SEJA, DENTRO DE UM SISTEMA GERAL DE GRACELI TODA FÍSICA DAS ESTRTURUAS, ENERGIAS, ONDAS, DIMENSÕES, ESTADOS, E CATEGORIAS. ESTÃO INSERIDOS NESTES SISTEMA DE GRACELI.

dentro de uma concepção que a matéria é infinitésima em termos de tipos e ínfimos diâmetro, logo esta diferenciação faz com que cada ínfima e infinitésima parte tenha ações, transformações, interaçõs, potenciaidades, e outros diferentes de uma das outras. logo se tem infinitas dimensões para cada ínfima e infinitésima parte e tipo.

VEJAMOS;

Na mecânica quântica, o potencial delta é um poço de potencial matematicamente descrito pela função delta de Dirac - uma função generalizada. Qualitativamente, corresponde a um potencial^{[nt 1]} que é zero em todos os lugares, exceto em um único ponto, onde leva um valor infinito^[2].

Potencial delta único

A equação de Schrödinger independente do tempo para a função de onda ψ(x) de uma partícula em uma dimensão em um potencial V(x) é

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)~,}$

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onde ħ é a constante reduzida de Planck e E é a energia da partícula.

O potencial delta é o potencial

${\displaystyle \displaystyle V(x)=\lambda \delta (x)~,}$

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onde δ(x) é a função delta de Dirac.

É chamado um potencial de poço delta se λ é negativo e um potencial de barreira delta se λ é positivo. O delta foi definido para surgir na origem por simplicidade; uma mudança no argumento da função delta não altera nenhum dos resultados procedentes^[3].

O princípio da incerteza consiste num enunciado da mecânica quântica formulado em 1927 por Werner Heisenberg. Tal princípio estabelece um limite na precisão com que certos pares de propriedades de uma dada partícula física, conhecidas como variáveis complementares (tais como posição e momento linear), podem ser conhecidos. Em seu artigo de 1927, Heisenberg propõe que em nível quântico quanto menor for a incerteza na medida da posição de uma partícula, maior será a incerteza de seu momento linear e vice-versa.^[1]

O princípio da incerteza é um dos aspectos mais conhecidos da física do século XX e é comumente apresentado como um exemplo claro de como a mecânica quântica se diferencia das premissas elementares das teorias físicas clássicas.^[2] Isso porque na mecânica clássica quando conhecemos as condições iniciais conseguimos com precisão determinar o movimento e a posição dos corpos de forma simultânea. Ainda que o princípio da incerteza tenha sua validade restrita ao nível subatômico, ao inserir valores como indeterminação e probabilidade no campo do experimento empírico, tal princípio constitui uma transformação epistemológica fundamental para a ciência do século XX.^[3] Essa transformação conduziu à discrepâncias na interpretação do conteúdo físico, surgindo versões conceitualmente distintas para as relações de incerteza, podendo ser interpretadas como relações de incerteza ou indeterminação.^[4]

• 8Ligações externas

Expressão

Pode-se exprimir o princípio da incerteza nos seguintes termos:

O produto da incerteza associada ao valor de uma coordenada x_i e a incerteza associada ao seu correspondente momento linear p_i não pode ser inferior, em grandeza, à constante reduzida de Planck. ^[5]Em termos matemáticos, exprime-se assim:

${\displaystyle \Delta x_{i}\Delta p_{i}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

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onde ${\displaystyle \hbar }$ é a Constante de Planck (h) dividida por 2π.

A explicação disso não é fácil de se entender, e fala mesmo em favor da intuição, embora o raciocínio clássico e os aspectos formais da análise matemática tenham levado os cientistas a pensarem diferentemente por muito tempo. Quando se quer encontrar a posição de um elétron, por exemplo, é necessário fazê-lo interagir com algum instrumento de medida, direta ou indiretamente. Por exemplo, faz-se incidir sobre ele algum tipo de radiação. Tanto faz aqui que se considere a radiação do modo clássico - constituída por ondas eletromagnéticas - ou do modo quântico - constituída por fótons. Caso se queira determinar a posição do elétron, é necessário que a radiação tenha comprimento de onda da ordem da incerteza com que se quer determinar a posição.^[6]

Neste caso, quanto menor for o comprimento de onda (maior frequência), maior será a precisão. Contudo, maior será a energia cedida pela radiação (onda ou fóton) em virtude da relação de Planck entre energia e frequência da radiação

${\displaystyle E=h\cdot \nu }$

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e o elétron sofrerá um recuo tanto maior quanto maior for essa energia, em virtude do efeito Compton. Como consequência, a velocidade sofrerá uma alteração não de todo previsível, ao contrário do que afirmaria a mecânica clássica.

Argumentos análogos poderiam ser usados para se demonstrar que ao se medir a velocidade com precisão, alterar-se-ia a posição de modo não totalmente previsível.

Resumidamente, pode-se dizer que tudo se passa de forma que quanto mais precisamente se medir uma grandeza, forçosamente mais será imprecisa a medida da grandeza correspondente, chamada de canonicamente conjugada.

Algumas pessoas consideram mais fácil o entendimento através da analogia. Para se descobrir a posição de uma bola de plástico dentro de um quarto escuro, podemos emitir algum tipo de radiação e deduzir a posição da bola através das ondas que "batem" na bola e voltam. Se quisermos calcular a velocidade de um automóvel, podemos fazer com que ele atravesse dois feixes de luz, e calcular o tempo que ele levou entre um feixe e outro. Nem radiação nem a luz conseguem interferir de modo significativo na posição da bola, nem alterar a velocidade do automóvel. Mas podem interferir muito tanto na posição quanto na velocidade de um elétron, pois aí a diferença de tamanho entre o fóton de luz e o elétron é pequena. Seria, mais ou menos, como fazer o automóvel ter de atravessar dois troncos de árvores (o que certamente alteraria sua velocidade), ou jogar água dentro do quarto escuro, para deduzir a localização da bola através das pequenas ondas que baterão no objeto e voltarão; mas a água pode empurrar a bola mais para a frente, alterando sua posição. Desta forma torna-se impossível determinar a localização real desta bola, pois a própria determinação mudará a sua posição. Apesar disto, a sua nova posição pode ser ainda deduzida, calculando o quanto a bola seria empurrada sabendo a força das ondas obtendo-se uma posição provável da bola e sendo provável que a bola esteja localizada dentro daquela área.

A renormalização é um conjunto de técnicas utilizadas para eliminar os infinitos que aparecem em alguns cálculos em Teoria Quântica de Campos.^[1] Na mecânica estatística dos campos^[2] e na teoria de estruturas geométricas auto-similares,^[3] a renormalização é usada para lidar com os infinitos que surgem nas quantidades calculadas, alterando valores dessas quantidades para compensar os efeitos das suas auto-interações. Inicialmente vista como um procedimento suspeito e provisório por alguns de seus criadores, a renormalização, eventualmente, foi abraçada como uma ferramenta importante e auto-consistente em vários campos da física e da matemática. A renormalização é distinta da outra técnica para controlar os infinitos, regularização, que assume a existência de uma nova física desconhecida em novas escalas.^[4]

• • ca

Renormalização em EDQ

Em Lagrangeano de EDQ,

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}_{B}\left[i\gamma _{\mu }\left(\partial ^{\mu }+ie_{B}A_{B}^{\mu }\right)-m_{B}\right]\psi _{B}-{\frac {1}{4}}F_{B\mu \nu }F_{B}^{\mu \nu }}$

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Os campos e a constante de acoplamento são realmente quantidades "cruas", por isso, o índice B acima. Convencionalmente, as quantidades cruas são escritas de modo que os termos lagrangianos correspondentes sejam múltiplos dos renormalizados:

${\displaystyle \left({\bar {\psi }}m\psi \right)_{B}=Z_{0}{\bar {\psi }}m\psi }$

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${\displaystyle \left({\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi \right)_{B}=Z_{1}{\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi }$

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${\displaystyle \left(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)_{B}=Z_{3}\,F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.}$

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Teoria de gauge e Identidade de Ward-Takahashi^[5][6] implicam que podemos renormalizar os dois termos da parte derivada covariante ${\displaystyle {\bar {\psi }}(\partial +ieA)\psi }$ juntos^[7], que é o que aconteceu para Z₂, é o mesmo com Z₁.^[8]

Na mecânica quântica, a Representação de Dirac ou Representação de Interação é uma intermediação entre a Representação de Schrödinger e a Representação de Heisenberg. Considerando que nas outras duas representações ou o vetor do estado quântico ou o operador possuem dependência com o tempo, na Representação de Dirac ambas possuem parte da dependência do tempo dos observáveis.

Equações que incluem operadores agindo em tempos distintos, que são comportadas na Representação de Dirac, não necessariamente serão comportados nas representações de Schrödinger e Heisenberg. Isto é porque transformações unitárias do tempo se relaciona com operadores de uma representação com o operador análogo da outra representação.

• 7Referências

Definição

Operadores e vetores dos estados quânticos na Representação de Dirac são relacionados pela mudança de base para aqueles operadores e vetores na Representação de Schrödinger.^[1]

Para alternar na Representação de Dirac, nós dividimos o hamiltoniano da Representação de Schrödinger em duas partes, ${\displaystyle H_{S}=H_{0,S}+H_{1,S}}$. 

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Qualquer escolha das partes nos dará uma Representação de Dirac válida, mas para nos ser útil na simplificação do problema, as partes serão escolhidas de forma que ${\displaystyle H_{0,S}}$ será facilmente resolvido e ${\displaystyle H_{1,S}}$ conterá as partes mais difíceis de analisar deste sistema.

Se o hamiltoniano for dependente do tempo (por exemplo, se o sistema quântico interagir com um campo elétrico aplicado externo que varia com o tempo), normalmente nos será vantajoso incluir explicitamente os termos dependentes do tempo com ${\displaystyle H_{1,S}}$, deixando o ${\displaystyle H_{0,S}}$ independente do tempo. Nós iremos assumir que este será o caso. (se existir um contexto em que isto faça sentido ter um ${\displaystyle H_{0,S}}$ dependente do tempo, então deve-se trocar ${\displaystyle e^{\pm iH_{0,S}t/\hbar }}$

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 pelo operador de evolução).

Vetor do estado quântico

O vetor do estado quântico na Representação de Dirac é definido como^[2]

${\displaystyle |\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle }$

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Onde ${\displaystyle |\psi _{S}(t)\rangle }$ é o mesmo vetor da Representação de Schrödinger.

Operadores

Um operador na Representação de Dirac é definido como

${\displaystyle A_{I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }A_{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }.}$

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Perceba que ${\displaystyle A_{S}(t)}$ não será dependente de t e pode ser reescrito como ${\displaystyle A_{S}}$.

Operador hamiltoniano

Para o operador ${\displaystyle H_{0}}$ a Representação de Dirac e Schrödinger são idênticas

${\displaystyle H_{0,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{0,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=H_{0,S}}$

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Isto pode ser comprovador usando o facto que os operadores comutáveis com funções diferenciáveis. Este operador em particular também pode ser escrito da forma ${\displaystyle H_{0}}$ sem ambiguidade.

Para a perturbação hamiltoniana ${\displaystyle H_{1,I}}$, teremos

${\displaystyle H_{1,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{1,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }}$

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onde a perturbação hamiltoniana da Representação de Dirac se torna um hamiltoniano dependente do tempo (a não ser que ${\displaystyle [H_{1,s},H_{0,s}]=0}$).

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É possível de se obter a Representação de Dirac para um hamiltoniano dependente do tempo ${\displaystyle H_{0,s}(t)}$, mas os exponencias precisam ser substituídos pelo propagador unitário devido para ${\displaystyle H_{0,s}(t)}$ ou mais explícito com uma integral exponencial ordenada pelo tempo.

Matriz densidade

A matriz densidade pode se demonstrada transformando a Representação de Dirac da mesma forma como qualquer outro operador. Em particular, deixe ${\displaystyle \rho _{I}}$ e ${\displaystyle \rho _{S}}$ ser a matriz de densidade na Representação de Dirac e na Representação de Schrödinger, respectivamente. Se existe possibilidade de ${\displaystyle p_{n}}$ ser no estado físico ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$, então

${\displaystyle \rho _{I}(t)=\sum _{n}p_{n}(t)|\psi _{n,I}(t)\rangle \langle \psi _{n,I}(t)|=\sum _{n}p_{n}(t)e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{n,S}(t)\rangle \langle \psi _{n,S}(t)|e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=e^{iH_{0,S}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }}$

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Equações da evolução temporal

Estados da evolução temporal

Transformando a Equação de Schrödinger numa Representação de Dirac teremos:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t)\rangle =H_{1,I}(t)|\psi _{I}(t)\rangle .}$

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Esta equação se refere à equação Schwinger-Tomonaga.

Operadores da evolução temporal

Se o operador ${\displaystyle A_{S}}$ é independente do tempo então a evolução temporal correspondente para ${\displaystyle A_{I}(t)}$ é dada por

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{I}(t)=\left[A_{I}(t),H_{0}\right].\;}$

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Na Representação de Dirac os operadores evoluem no tempo como os operadores da Representação de Heisenberg com o hamiltoniano ${\displaystyle H'=H_{0}}$.

Evolução temporal da matriz densidade

Transformando a equação de Schwinger-Tomonaga na linguagem da matriz densidade teremos

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{I}(t)=\left[H_{1,I}(t),\rho _{I}(t)\right].}$

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Na física a Representação de Heisenberg, desenvolvida pelo físico Werner Heisenberg, é a formulação da mecânica quântica onde os operadores (observáveis) são dependentes do tempo e o estado quântico são independentes do tempo. Isto demonstra o contraste com a Representação de Schrödinger na qual os operadores são constantes e o estado quântico se desenvolve no tempo. Estas duas representações apenas se diferem pela mudança na dependência do tempo. Formalmente falando a Representação de Heisenberg é a formulação da mecânica matricial numa base arbitrária, onde o Hamiltoniano não é necessariamente diagonal.

• 5Ligações externas

Detalhes matemáticos

Na Representação de Heisenberg da mecânica quântica o estado quântico, ${\displaystyle |\psi \rangle }$, não se modifica com o tempo, e um observador A satisfaz a equação

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={i \over \hbar }[H,A(t)]+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right),}$

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onde H é o hamiltoniano e [·,·] é o comutador de A e H. Em certo sentido, a Representação de Heisenberg é mais natural e fundamental que a Representação de Schrödinger, especialmente para a teoria da relatividade geral e restrita.

A similaridade da Representação de Heisenberg com a física clássica é facilmente identificada ao trocar o comutador da equação acima pelos Parênteses de Poisson, então a equação de Heisenberg se tornará uma equação da mecânica hamiltoniana.

Derivando a equação de Heisenberg

Suponha que nós tenhamos um observador A (que é um operador autoadjunto). O valor esperado de A para um dado estado ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ é dado por:

${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (t)|A|\psi (t)\rangle }$

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ou se nós escrevermos a seguinte Equação de Schrödinger

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle }$

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(onde H é o hamiltoniano independente do tempo e ħ é a Constante de Planck dividida por 2·π) nós teremos

${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle ,}$

e então nós definiremos

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${\displaystyle A(t):=e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }.}$

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Agora obteremos

${\displaystyle {d \over dt}A(t)={i \over \hbar }He^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)+{i \over \hbar }e^{iHt/\hbar }A\cdot (-H)e^{-iHt/\hbar }}$

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(diferenciando de acordo com a regra do produto)

${\displaystyle ={i \over \hbar }e^{iHt/\hbar }\left(HA-AH\right)e^{-iHt/\hbar }+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)={i \over \hbar }\left(HA(t)-A(t)H\right)+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)}$

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(a última passagem é válida já que ${\displaystyle e^{-iHt/\hbar }}$ comuta com H.) Nós agora estamos à esquerda da Equação de Heisenberg do movimento

${\displaystyle {d \over dt}A(t)={i \over \hbar }[H,A(t)]+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)}$

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(onde [X, Y] é o comutador dos dois operadores e definidos como [X, Y] := XY − YX).

Agora, se nós fizermos uso do operador de igualdade

${\displaystyle {e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots }$

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Nós veremos que para um observador independente do tempo A, nós obteremos:

${\displaystyle A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A]]]+\dots .}$

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Devido ao relacionamento entre os Parênteses de Poisson e os comutadores, esta relação também obedece à mecânica clássica.

Relacionamento do comutador

O relacionamento do comutador é bastante diferente à Representação de Schrödinger por causa da dependência do tempo dos operadores. Por exemplo, considere os operadores ${\displaystyle x(t_{1}),x(t_{2}),p(t_{1})}$ e ${\displaystyle p(t_{2})}$. A evolução no tempo destes operadores depende do hamiltoniano deste sistema. Para um oscilador harmônico de uma dimensão

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}}$

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A evolução da posição e do operador do momento é dada por:

${\displaystyle {d \over dt}x(t)={i \over \hbar }[H,x(t)]={\frac {p}{m}}}$

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${\displaystyle {d \over dt}p(t)={i \over \hbar }[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x}$

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Pela diferenciação de ambas equações e solucionando com as devidas condições iniciais

${\displaystyle {\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0}}$

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${\displaystyle {\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}}}$

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nos leva a:

${\displaystyle x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{\omega m}}\sin(\omega t)}$

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${\displaystyle p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega \!x_{0}\sin(\omega t)}$

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Agora nós estamos prontos para diretamente comutar a relação do comutador:

${\displaystyle [x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$

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${\displaystyle [p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$

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${\displaystyle [x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$

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Perceba que para ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$, simplesmente obteremos a já conhecida relação de comutação canônica.

Na mecânica quântica, uma função de estado é uma combinação linear (uma superposição) de valor próprio. Numa Representação de Schrödinger, o estado de um sistema evolui com o tempo, onde a evolução para um sistema quântico fechado é provocada por operador unitário chamado de operador da evolução temporal. Isto difere de uma Representação de Heisenberg onde os estados são constantes enquanto os observáveis evoluem com o tempo. As estatísticas de medição são as mesmas em ambas as representações.

• 3Leitura recomendada

O operador de evolução temporal

Definição

O operador de evolução temporal U(t,t₀) é definido como:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$

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Isto é, quando este operador está agindo no estado "ket" em t₀ no dá o estado "ket" em um tempo t. Para "bras", nós temos:

${\displaystyle \langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})}$

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Propriedades

Primeira propriedade

A operador da evolução temporal deve ser unitário. Isto é necessário porque nós precisamos que a norma do estado "ket" não mude com o tempo. Isto é,

${\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$

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Em consequência disto,

${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I(U(t,t_{0})).}$

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Segunda propriedade

Distintamente U(t₀,t₀) = I, a função identidade. Como:

${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$

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Terceira propriedade

A evolução temporal de t₀ para t pode ser vista como a evolução temporal de t₀ para um tempo t₁ indeterminado e de t₁ para o tempo final t. Então conclui-se:

${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0})\!}$

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Equação diferencial para o operador da evolução temporal

Se dermos, por convenção, o índice t₀ no operador da evolução temporal de forma que t₀ = 0 e escrevermos isto com U(t). A Equação de Schrödinger pode ser re-escrita da seguinte forma:

${\displaystyle i\hbar {d \over dt}U(t)|\psi _{e}(0)\rangle =HU(t)|\psi _{e}(0)\rangle }$

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Onde H é o Hamiltoniano para o sistema. Como ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ é uma constante de ket (o estado ket é da forma t = 0), nós vemos que o operador da evolução temporal obedece a Equação de Schrödinger:

${\displaystyle i\hbar {d \over dt}U(t)=HU(t)}$

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Se o hamiltoniano independe do tempo, a solução da equação acima será:

${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }.}$

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Onde nós também usamos o facto que t = 0, U(t) precisa reduzir para a função identidade. Assim obteremos:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle \,.}$

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Perceba que ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ é um ket arbitrário. Apesar de que, se o ket inicial é um valor próprio do hamiltoniano, com o valor próprio E, nós temos:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle \,.}$

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Assim, vemos que os valores próprios do hamiltoniano são estados estacionários, eles apenas escolhem um fator de fase global já que eles evoluem com o tempo. Se o hamiltoniano é dependente do tempo, mas os hamiltonianos de diferentes tempo comutam, então o operador da evolução temporal pode ser escrito da forma:

${\displaystyle U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t^{'})\,dt^{'}}\right)\,.}$

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Uma alternativa para a Representação de Schrödinger é trocar para uma rotação de referências de quadros, que seja rotacionada pelo propagador do movimento. Desde que a rotação ondulatória seja agora assumida pelo próprio referencial, uma função de estados não perturbados surge para ser verdadeiramente estáticos.

Equação de Hamilton–Jacobi

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Na matemática, a equação de Hamilton–Jacobi (HJE em inglês) é uma condição necessária para descrever a geometria em problemas de cálculos. Na física, ela é uma reformulação da mecânica clássica e é equivalente a outras reformulações como a segunda lei de Newton, mecânica de Lagrange e mecânica hamiltoniana. Ela foi formulada pelos matemáticos William Rowan Hamilton e Carl Gustav Jakob Jacobi.

A equação de Hamilton–Jacobi é particularmente importante por ser a única formulação matemática da mecânica em que o movimento de uma partícula pode ser representada como uma onda. Neste sentido, a equação preencheu um antigo objetivo da física teórica (iniciada no século XVIII por Johann Bernoulli) que era o de encontrar uma analogia entre a propagação da luz e o movimento de uma partícula. A equação de onda seguida por sistemas mecânicos é similar a, mas não idêntico a, equação de Schrödinger, por esta razão, a equação de Hamilton–Jacobi é considerada a maior aproximação da mecânica clássica com a mecânica quântica.^[1][2]

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Definição

A equação de Hamilton–Jacobi é uma equação diferencial parcial, não linear de primeira ordem para a função ${\displaystyle S(q_{1},\dots ,q_{N};t)}$ chamada de função principal de Hamilton.

${\displaystyle H\left(q_{1},\dots ,q_{N};{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},\dots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{N}}};t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}$

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Esta equação pode ser obtida a partir da mecânica hamiltoniana tratando-se ${\displaystyle S}$ como a função geradora para uma transformação canônica da mecânica Hamiltoniana ${\displaystyle H(q_{1},\dots ,q_{N};p_{1},\dots ,p_{N};t)}$. O momento conjugado corresponde à primeira derivada de ${\displaystyle S}$ com respeito as coordenadas generalizadas

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}.}$

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que pode ser obtido como se segue.

A mudança na ação de um caminho para um caminho vizinho é dado por

${\displaystyle \delta S=\sum _{k=1}^{N}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\delta q_{k}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\sum _{k=1}^{N}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)\delta q_{k}\,dt.}$

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Desde que os caminhos do movimento atual satisfaçam a equação de Euler–Lagrange, a integral em ${\displaystyle \delta S}$ será zero. No primeiro termo nós colocaremos ${\displaystyle \delta q_{k}(t_{1})=0}$, e denotaremos o valor de ${\displaystyle \delta q_{k}(t_{2})}$ por simplesmente ${\displaystyle \delta q_{k}}$. Trocando ${\displaystyle \partial L/\partial {\dot {q}}_{k}}$ por ${\displaystyle p_{k}}$, nós teremos

${\displaystyle \delta S=\sum _{k=1}^{N}p_{k}\delta q_{k}}$.

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A partir desta relação se segue que a derivada parcial da ação com respeito às coordenadas são iguais ao momento correspondente. Similarmente, as coordenadas podem ser obtidas como derivadas com respeito do momento transformado, ao se inverter estas equações, pode-se determinar a evolução do sistema mecânico, isto é, determinar as coordeadas como funções do tempo. As posições iniciais e as velocidades são as constantes da integral para a solução de ${\displaystyle S}$, que corresponde às quantidades conservadas da evolução tal como a energia total, o momento angular, ou o vetor de Laplace–Runge–Lenz.

Comparação com outras formulações da mecânica

A equação de Hamilton–Jacobi é uma equação diferencial parcial de primeira ordem para a função ${\displaystyle S}$ das N coordenadas generalizadas ${\displaystyle q_{1},\dots ,q_{N}}$ e de tempo ${\displaystyle t}$. O momento generalizado não aparece, exceto como derivadas de ${\displaystyle S}$.

Para comparação, na equivalente equação de Euler–Lagrange da mecânica de Lagrange, o momento conjugado também não aparece; entretanto, estas equações são um sistema de ${\displaystyle N}$, geralmente equações de segunda ordem da evolução temporal das coordenadas generalizadas. Como uma nova comparação, a equação de Hamilton é similar a um sistema de ${\displaystyle 2N}$ equações de primeiro grau para evolução temporal das coordenadas e seus momentos conjugados ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{N}}$.

Já que a equação de Hamilton–Jacobi é uma expressão equivalente a um problema de minimização integral como o princípio de Hamilton, ela pode ser útil em outros problemas de cálculo de variações e outros campos da matemática e da física, como sistema dinâmico, geometria simplética e caos quântico. Por exemplo a equação de Hamilton–Jacobi pode ser utilizada para de terminar as geodésicas de uma variedade de Riemann.

Notação

Para abreviar, utilizaremos negrito como em ${\displaystyle \mathbf {q} }$ para representar a lista de ${\displaystyle N}$ coordenadas generalizadas.

${\displaystyle \mathbf {q} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N})}$

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que não precisa transformar como um vetor em rotação. O produto escalar é definido aqui como a soma dos produtos dos componentes respectivos, isto é,

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}$

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O teorema de Ehrenfest, nomeado a partir de Paul Ehrenfest, físico e matemático austríaco, relaciona a derivada do tempo do valor esperado para um operador na mecânica quântica para o comutador deste operador com o hamiltoniano do sistema. Isto é:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }$

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onde A é algum operador da mecânica quântica e ${\displaystyle \langle A\rangle }$ é seu valor esperado.

O Teorema de Ehrenfest é obviamente a Representação de Heisenberg da mecânica quântica, onde isto é apenas o valor esperado do momento da Equação de Heisenberg.

O teorema também é altamente relacionado com o Teorema de Liouville da mecânica hamiltoniana, que envolve os Parênteses de Poisson ao invés do comutador.

Derivação

Suponha que o sistema seja apresentado em um estado quântico ${\displaystyle \Phi }$. Se nós quisermos saber a derivada do tempo instantânea do valor esperado de A, que é, por definição:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi ~dx^{3}=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx^{3}+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi ~dx^{3}+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx^{3}}$

${\displaystyle =\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx^{3}+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx^{3},}$

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onde nós temos integrando por todo espaço. Se nós aplicarmos a Equação de Schrödinger, encontraremos isto:

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}H\Phi }$

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e isto:

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}={\frac {-1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H^{\dagger }={\frac {-1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H.}$

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Perceba que ${\displaystyle H=H^{\dagger }}$ porque o Hamiltoniano é um operador autoadjunto. Colocando isto na equação acima nós obteremos:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~dx^{3}+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle .}$

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Diversas vezes (mas não sempre) o operador A é independente do tempo, então sua derivada será zero e nós poderemos ignorar o último termo da equação.

Exemplo geral

Pelo exemplo mais geral possível de uma partícula de grande massa se movendo em um vetor potencial, o Hamiltoniano é simplesmente:

${\displaystyle H(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)}$

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onde ${\displaystyle x}$ é simplesmente a localização da partícula. Suponha que nós quiséssemos saber a mudança instantânea do momento ${\displaystyle p}$. Utilizando o teorema de Ehrenfest, teremos:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,V(x,t)]\rangle }$

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já que o operador ${\displaystyle p}$ comuta com ele mesmo e não obtém dependência com o tempo. Expandindo o lado direito da equação, substituindo p por ${\displaystyle -i\hbar \nabla }$, nós obteremos:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t)\nabla \Phi ~dx^{3}-\int \Phi ^{*}\nabla (V(x,t)\Phi )~dx^{3}.}$

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Após adicionar a regra do produto ao segundo termo, teremos:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t)\nabla \Phi ~dx^{3}-\int \Phi ^{*}(\nabla V(x,t))\Phi ~dx^{3}-\int \Phi ^{*}V(x,t)\nabla \Phi ~dx^{3}}$

${\displaystyle =-\int \Phi ^{*}(\nabla V(x,t))\Phi ~dx^{3}}$

${\displaystyle =\langle -\nabla V(x,t)\rangle =\langle F\rangle ,}$

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mas nós reconheceremos isto como a segunda lei de Newton.

Similarmente nós poderemos obter a mudança de posição instantânea do valor esperado.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle =}$

${\displaystyle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)]\rangle +0={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,{\frac {p^{2}}{2m}}]\rangle =}$

${\displaystyle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)]\rangle ={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle [x,p]{\frac {d}{dp}}p^{2}\rangle =}$

${\displaystyle ={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle i\hbar 2p\rangle ={\frac {1}{m}}\langle p\rangle }$

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Este resultado é novamente em acordo com a equação clássica.